Ayuda con Álgebra lineal

[IsaacMG]

Bueeeno, llevo dos días atascado con una cosa de álgebra lineal, mis apuntes cogidos a toda prisa dan algo de pena y no logro tirar pa'lante. Veamos...

Tengo el siguiente ejercicio:

Dada una transformación lineal tal que R^3---->R^3

f(0,1,-1) = (2,1,-3)

f(1,1,-1) = (-4,0,3)

f(2,1,0) = (-2,2,1)

Hay que calcular la matriz en base canónica.

Ok, a ver, creo que entiendo lo que me dan. Me están dando una base [(0,1,-1), (1,1,-1), (2,1,0)] y las imagenes de la respectiva base [(2,1,-3),(-4,0,3),(-2,2,1)], pero no me dan la ecuación de la aplicación lineal (la típica [(x,y,z) = (x y z, x y z, x y z)]). He intentado sacarla de mil maneras pero no lo debo estar haciendo bien.

No encuentro nada en mis apuntes que me ayude con este tipo de ejercicio (los otros en los que te dan la matriz y te dicen en que base está están chupaos, pero este...)

No quiero que me hagáis los deberes pues no son deberes, estoy estudiando y para ello hago veinte mil ejercicios una y otra vez, pero este me puede. Lo único que necesito es que alguien me ayude a entender cómo se hace!

A ver si alguien puede, me haríais un favorazo.

Gracias.

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lo siento pero soy un matao al menos te upeo el hilo

[juanvvc]

Dada una matriz de proyección P, la proyección Y de un punto X es Y=PX.

En este ejercicio te dan X, Y y te piden calcular P. En tu caso te están dando tres puntos que además forman una base, así que puedes expresar X como una matriz cuadrada donde las columnas son tus puntos. De la misma manera, puedes expresar Y como una matriz cuadrada donde las columnas son las proyecciones que tienes.

(si decides representar los puntos como filas de X, cambia el orden de todo)

En este caso:

PX=Y
PX(X^-1)=Y(X^-1)
PI=Y(X^-1)
P=Y(X^-1)

Y ahí lo tienes: la proyección de la base usual/canónica (es decir, la matriz que buscas) es Y(X^-1)

Las operaciones con matrices y el cálculo de la inversa te lo dejo a ti. En mi caso dejeré que sea octave quien lo calcule:



octave:1> X=[0 1 2;1 1 1;-1 -1 0]
X =

0 1 2
1 1 1
-1 -1 0

octave:2> Y=[2 -4 -2; 1 0 2; -3 3 1]
Y =

2 -4 -2
1 0 2
-3 3 1

octave:3> P=Y*(X^-1)
P =

-6 10 8
-1 4 3
6 -11 -8



Y verifiquemos:


octave:4> P*[0;1;-1]
ans =

2
1
-3


Si quieres expresar esa P que hemos calculado de forma algebraica: el punto (x, y, z) se transforma en (-6x+10y+8z, -x+4y+3z, 6x-11y-8z)

[pache_reloaded]

http://imageshack.us/scaled/landing/98/locualo2.gif

[IsaacMG]

Mil gracias juanvvc, eres un crack! Ya lo había resuelto, venía a ponerlo, pero con tu explicación lo veo mucho más claro. Ahora tengo otro ejercicio (el último de mi lista) que se me resiste. Básicamente me dan una base, una matriz asociada a esa base y me dicen que calcule la matriz en base canónica también, pero resulta que la matriz asociada a la base no tiene inversa (el determinante da 0). ¡¿Alguna pista?!

Gracias de nuevo!

Por cierto juan, a qué te dedicas? Ya por curiosidad!

edit: De nuevo te lo agradezco, releyendo y analizando tu explicación lo entiendo todo muy bien. Que sepas que nuestra profesora no ha tocado el tema gráfico, es decir, nos habla de que eso son vectores pero nos enseña directamente a operar y demás, de hecho me acabo de enterar gracias a tí que eso que me daban son puntos y proyecciones de ellos, cosa que no me han explicado (y no he faltado a ninguna clase).

Entonces, si tengo tres puntos y entre ellos son linealmente independientes, se pueden expresar en forma de matriz, no es así? Si fueran L.D, qué ocurriría?

[GameMaster]

es profesor de geografia

[juanvvc]

¿Eh? No sé si me he perdido algo, pero no necesitas invertir nada: tienes la base X, tienes la matriz asociada P ¿Cuál es la matriz asociada a la base usual/canónica? Pues PX. Ya está ¿no?

[IsaacMG]

Nope, tengo las soluciones y no da lo mismo. El enunciado exacto es:

Siendo R^3---->R^3 la transformación lineal que en la base B = {(1,-1,2),(2,-1,1),(1,-1,1)} tiene asociada la matriz
2 0 1
0 1 3
2 -1 -2

Calcula su matriz en la base canónica.

Es que verás, para estos cambios nos enseñaron un método que consiste en hacer un esquema con el camino, por ejemplo
Digamos que quiero pasar una base en R3--R3 B a B'
R^3----->R^2
C3............C2

Entonces

R^3------>R^3------>R^2----->R^2
B..............C3...........C2............B'

Este es el único método que nos han enseñado para hacer cambios de base y demases, y lo he intentado con esto bien (creo) aplicado y tampoco, ya probé ayer con veinte mil cosas y nada.

[juanvvc]

¿Cuál es la solución?

Siendo M la matriz asociada a la base B, para transformar un vector X expresado en esa base B se usa:

MX=Y

Ahora bien, ¿cómo se expresa X en la base canónica? X'=BX, siendo X' la representación de X en la base canónica (en la que supongo que está expresado B). Entonces, X=(B^-1)X'. Como MX=Y,

M(B^-1)X'=Y

Es decir, la transformación de un vector X' expresado en la base canónica es M(B^-1). De nuevo octave al rescate:




octave:32> B=[1 2 1;-1 -1 -1;2 1 1];
octave:33> M=[2 0 1;0 1 3;2 -1 -2];
octave:34> M*(B^-1)
ans =

-1 -1 1
-2 -8 -3
1 7 4


Ten en cuenta que hace unos 10 años de la última vez que miré algo similar a esto así que no soy muy de fiar...

-----Actualizado-----


Por cierto juan, a qué te dedicas? Ya por curiosidad!

A lo que me paguen... Últimamente me pagan para ser científico de los de pensar en la UPC y profesor no universitario en el Cibernàrium :D


edit: De nuevo te lo agradezco, releyendo y analizando tu explicación lo entiendo todo muy bien. Que sepas que nuestra profesora no ha tocado el tema gráfico, es decir, nos habla de que eso son vectores pero nos enseña directamente a operar y demás, de hecho me acabo de enterar gracias a tí que eso que me daban son puntos y proyecciones de ellos, cosa que no me han explicado (y no he faltado a ninguna clase).

Entenderlo como el lugar de la pantalla de un ordenador donde proyectar la posición de una bala de Halo 4 es como mejor lo entendemos nosotros que tenemos las aficiones que tenemos, pero en realidad se aplica en miles de sitios más. Aunque si te quieres dedicar a programar juegos 3D te vas a hartar de ver estas matrices de proyección.

Otro lugar evidente donde se aplica es el cálculo de posiciones GPS: si sé que el satélite A está en X según la base de la tierra, y sé que mi posición con respecto a A es Y (es decir, estoy en Y según la base de A)... ¿cuál es mi posición con respecto a la base canónica de la tierra?


Entonces, si tengo tres puntos y entre ellos son linealmente independientes, se pueden expresar en forma de matriz, no es así? Si fueran L.D, qué ocurriría?

Que no te están dando suficientes datos para resolver tu problema. Es decir, que con solo esas observaciones no podrías saber dónde está la cámara de tu juego porque hay varias cámaras posibles que proyectan en esos puntos. Cualquiera de ellas puede ser. O dicho de otro modo: que necesitas conocer tu posición relativa a al menos 4 satélites GPS diferentes.

[IsaacMG]

Jajaja, flipa. Yo estudio en la UPC de terrassa, ingenieria de audiovisuales (en qué aplicaré esto en mi carrera? D: )

Sí, ya me hacía una idea de que en los juegos se aplicaba a las cámaras y tal según escuché, pero hasta que no me has dicho tú cómo, pues no lo sabía xD

Bueno el caso es que el resultado del ejercicio es:

-4 -10 -1
2 2 -2
-3 -3 3

Yo ya estoy que me tiro de los pelos, porque luego hay algunas otras cosas a ojo sencillas que no entiendo del todo, como por ejemplo,
me dan (x,y) = (x-y, -y) y la base B= (1,2), (0,3) y me dicen que encuentre la matriz... y yo creía que lo sabía y cuando lo voy a intentar.. ¡zas!, ay, ay.

Luego otro... v1=(1,5) v2=(1,6); me pregunta si hay alguna transformación lineal f de R2 a R tal que f(v1)=-1 y f(v2)=0, y que de la matriz de f en base canonica y determine las imagenes de los vectores. También creía que era fácil y veo que ni pa'trás, porque no acabo de entender bien la teoría, tengo la picha hecha un lío...

Me corto las venas o me las dejo largas?

Creo que ya me estoy pasando, pero si me puedes hacer ver la parte de teoría que me falla te prometo unas cañas algún día (soy pobre) :D

Mil gracias por la ayuda y tu tiempo juanvvc :)

[juanvvc]

Creo que te confundiría más que nada, porque después de tantos años mezclo los conceptos y no encuentro en casa el libro de álgebra lineal. Mañana lo busco por el despacho a ver si está allí.

De todas formas, creo que deberías ir a tutorías y que te expliquen la base del asunto, que para eso están los profes :)

[IsaacMG]

Gracias hombre.

Eso estaba mirando, llevo un rato buscando el correo de la profesora para pedirle una tutoria y el caso es que no lo encuentro por ningún lado xD

La pega que tengo es que sólo tengo clase mañana y no de álgebra, y la semana que viene... ¡exámenes! como siempre, me pilla el toro :awesome: